Question

在点O为原点的平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，现将正方形OA

在点O为原点的平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时，停止转动，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，交x轴于N．（1）旋转停止时正方形旋转的度数是______度；（2）在旋转过程中，当MN和AC平行时，①△OAM与△OCA是否全等？此时正方形OABC旋转的度数是多少？②直接写出△MBN的周长的值，并判断这个值在正方形OABC的旋转的过程中是否发生变化？

Answer 1

（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，
∴OA旋转了45°；
故答案为：45．

（2）①△OAM≌△OCN，正方形OABC旋转的度数为22.5°．
理由：∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．
又∵BA=BC，∴AM=CN．
在△OAM和△OCN中

AM＝CN ∠OAM＝∠OCN AO＝CO

∴△OAM≌△OCN（SAS）
∴∠AOM=∠CON=

1

2

（∠AOC-∠MON）=

1

2

（90°-45°）=22.5°．
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．

②△MBN的周长的值为2，
证明：如图所示：延长BA交y轴于E点，
则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN，
在△OAE和△OCN中

∠EOA＝∠CON OA＝OC ∠OAE＝∠OCN

，
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中

OE＝OC ∠EOM＝∠NOM OM＝OM

，
∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．
∴在旋转正方形OABC的过程中，△MBN的周长无变化．