Question

已知函数f(x)=2alnx+2ax-x^2 a∈R,确定函数f(x)在区间(0,+∞）的单调性

Answer 1

解：求导
f‘(x)=2a/x+2a-2x
=(-2x²+2ax+2a)/x
=2(x²+ax+a)/x 现在看g(x)=x²+ax+a
(1)当a=0时。
f(x)在区间(0,+∞）递增。
(2)当a>0时
g(x)在(0,+∞）大于0
f(x)在区间(0,+∞）递增。
(3)a<0时。
△=a²-4a>0
g(x)两根异号，有一正跟x=(-a+√(a²-4a))/2
由图像可知 在(0,(-a+√(a²-4a))/2]递减
在[(-a+√(a²-4a))/2,+∞)递增。

追问

你算着算着负号没了 =(-2x²+2ax+2a)/x
=2(x²+ax+a)/x

追答

解：嗯嗯，漏了
f‘(x)=2a/x+2a-2x
=(-2x²+2ax+2a)/x
=2(-x²+ax+a)/x 现在看g(x)=-x²+ax+a
(1)当a=0时。

f(x)在区间(0,+∞）递减。

(2)当a>0时
△=a²+4a>0

且g(x)两根异号，有一正跟x=(a+√(a²+4a))/2
由图像可知 在(0,(a+√(a²+4a))/2]递增
在[(a+√(a²-4a))/2,+∞)递减。
(3)a<0时

g(x)在(0,+∞）小于0。

f(x)在区间(0,+∞）递减。

Answer 2

f(x)=2alnx+2ax-x²
x>0
f'(x)=2a/x+2a-2x
=-2(x²-ax-a)/x
=[-2(x-a/2)²+a²/2-a]/x
-2(x-a/2)²+a²/2-a≥0
0<x≤a/2+√(a²/2-a)
f'(x)≥0
f(x)增
-2(x-a/2)²+a²/2-a<0
x>a/2+√(a²/2-a)
f'(x)<0
f(x)减

追问

错 要讨论a

追答

f(x)=2alnx+2ax-x²
x>0
f'(x)=2a/x+2a-2x=-2(x²-ax-a)/x
g(x)=-(x²-ax-a)=-(x-a/2)²+a²/4+a
x=a/2±√(a²/4+a)
取x= a/2+√(a²/4+a)
当x= a/2时g(x)有最大值a²/4+a
1
当a²/4+a≤0时
a(a+4)≤0
-4≤a≤0
g(x)≤0 f’(x)≤0 f(x)增

2
当a²/4+a>0时
a>0 a0 g(x)>0 f(x)增
x a/2+√(a²/4+a)

追问

a a/2+√(a²/4+a)f(x)减
对吧~

追答

对