Question

正玄定理 数学题

1：说已知三角形的三边之比是a:b:c=2:3:4，则次三角形的形状为什么？
2：说三角形内角A B C所对三边为别为a,b,c 若其面积S=C^2-（a-b)^2,则tan二分之C等于？

Answer 1

1最大边为c边，设a=2x，b=3x。c=4x
则cosC=(a²+b²-c²)/2ab
知a²+b²-c²=（2x）²+（3x）²-（4x）²=-3x²＜0
即∠C是钝角，即三角形的形状为钝角sjx
2S=C^2-（a-b)^2=c²-a²-b²+2ab
由S=1/2absinC
即c²-a²-b²+2ab=1/2absinC
即2ab-1/2absinC=a²+b²-c²
即2ab（1-1/4sinC）=a²+b²-c²
即1-1/4sinC=(a²+b²-c²)/2ab=cosC
即1-1/4sinC=cosC
又有sin²C+cos²C=1
解的sinC=8/17,cosC=15/17
即tanC/2=sinC/(1-cosC)=8/17/(1-15/17)=4

追问

2S=C^2-（a-b)^2=c²-a²-b²+2ab

S为什么乘2 还有tanC/2=sinC/(1-cosC)这一步怎么出来的 求解

追答

2 S=C^2-（a-b)^2=c²-a²-b²+2ab
由S=1/2absinC
即c²-a²-b²+2ab=1/2absinC
即2ab-1/2absinC=a²+b²-c²
即2ab（1-1/4sinC）=a²+b²-c²
即1-1/4sinC=(a²+b²-c²)/2ab=cosC
即1-1/4sinC=cosC
又有sin²C+cos²C=1
解的sinC=8/17,cosC=15/17
即tanC/2=sinC/2/cosC/2=2cosC/2*sinC/2/2cos²C/2=sinC/(1+cosC)=8/17/(1+15/17)=1/4

Answer 2

解：cosA=(b²+c²-a²)/2bc=7/8
cosB=(a²+c²-b²)/2ac=11/16
cosC=(a²+b²-c²)/2ab=-1/4
钝角三角形