Question

已知函数f（x）=x2-ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴交于点M（M异于原点），f（x）在M处的切线与

已知函数f（x）=x2-ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴交于点M（M异于原点），f（x）在M处的切线与直线x-y+10=0平行．（Ⅰ）求f（2）的值；（Ⅱ）已知非零实数t，求函数y=tg（x）-f（x）+x2，x∈[1，e]的最小值；（Ⅲ）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1-m）x2，β=（1-m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）-F（β）|＜|F（x1）-F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x-a
由题意可得2a-a=1，即a=1，…（2分）
∴f（x）=x²-x，f（2）=2²-2=2                  …（3分）
（Ⅱ）y=tg（x）-f（x）+x²=tlnx+x，
∴y′=

t

x

+1，
t＞-1时，x∈[1，e]为增函数，x=1时，y_min=1；
-e≤t≤-1时，[1，t]为减函数，[t，e]为增函数，x=t时，y_min=tln（-t）-t；
t＜-e时，x∈[1，e]为减函数，x=e时，y_min=t+e；
∴ymin＝

1，(t＞?1，t≠0) tln(?t)?t，(?e≤t≤?1) t+e，(t＜?e)

…（8分）
（Ⅲ）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+

1

x

，F′（x）=

x?1

x2

≥0
所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增      　　…（9分）
∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0
①当m∈（0，1）时，有
α=mx₁+（1-m）x₂＞mx₁+（1-m）x₁=x₁，
α=mx₁+（1-m）x₂＜mx₂+（1-m）x₂=x₂，
得α∈（x₁，x₂），同理β∈（x₁，x₂），…（10分）
∴由f（x）的单调性知  0＜F（x₁）＜F（α）、f（β）＜f（x₂）  
从而有|F（α）-F（β）|＜|F（x₁）-F（x₂）|，符合题设．…（11分）
②当m≤0时，
α=mx₁+（1-m）x₂≥mx₂+（1-m）x₂=x₂，
β=mx₂+（1-m）x₁≤mx₁+（1-m）x₁=x₁，
由f（x）的单调性知，
F（β）≤F（x₁）＜f（x₂）≤F（α）
∴|F（α）-F（β）|≥|F（x₁）-F（x₂）|，与题设不符 …（12分）
③当m≥1时，同理可得α≤x₁，β≥x₂，
得|F（α）-F（β）|≥|F（x₁）-F（x₂）|，与题设不符．…（13分）
∴综合①、②、③得 m∈（0，1）…（14分）