Question

为治理雾霾，环保部门加大对企业污染物排放的监管力度，某企业决定对一条价值60万元的老旧流水线进行升级

为治理雾霾，环保部门加大对企业污染物排放的监管力度，某企业决定对一条价值60万元的老旧流水线进行升级改造，既要减少为染污的排放，更要提高该流水线的生产能力，从而提高产品附加值，预测产品附加值y（单位：万元）与投入改造资金x（单位：万元）之间的关系满足：①y与（60-x）x2成正比例；②当x=30时，y=90；③改造资金x满足不等式0≤x2(60?x)≤t，其中t为常数，且t∈[0，3]．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式，并求出其定义域；（Ⅱ）求投入改造资金x取何值时，产品附加值y达到最大？

Answer 1

（Ⅰ）设y=k（60-x）x²，则
由②可得k=

1

300

，∴y=

1

300

（60-x）x²．
∵0≤

x

2(60?x)

≤t，其中t为常数，且t∈[0，3]，
∴x∈[0，

120t

1+2t

]，其中t为常数，且t∈[0，3]；
（Ⅱ）f′（x）=

1

300

x（120-3x），令f′（x）=0，可得x=0或40，

120t

1+2t

≥40，即1≤t≤3时，x∈（0，40），f′（x）＞0，x∈（40，

120t

1+2t

），f′（x）＜0，
∴x=40时，y_max=

320

3

；

120t

1+2t

＜40，即0≤t＜1时，x∈（0，

120t

1+2t

），f′（x）＞0，函数单调递增，
∴x=

120t

1+2t

时，y_max=

2880t2

(1+2t)3

．