Question

设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,且f(0)=1,f(1)=0,求证:存在一点ξ属于(0.1),使得f(ξ)=ξ

Answer 1

设函数f(x)在闭区间【0.1】上连续，在【0.1】内可导，f(0)=0,f(1)=1，证明:1.存在$属于(0.1)是 f($)= 1 - $ 2.存在连个不同的点$，n属于(0.1) 使f`(n)f`($)=1
是这个题吗？
1.g(x)=f(x)+x-1
g(0)=-1,g(1)=1
必存在ξ∈(0，1)，g(ξ)=0
即f(ξ)=1-ξ
2.存在ξ∈(0，1)，f'(ξ)=f(1)-f(0)=1
存在η∈(0，1)，g'(η)=f'(η)+1=g(1)-g(0)=2;即f'(η)=1
于是f'(ξ)f'(η)=1

Answer 2

构造函数g(x)=f(x)-x，故g(x)在闭区间[0,1]上也连续。g(0)=1，g(1)=-1，g(0)
乘以g(1)小于0，由零点存在定理知存在ξ属于(0.1)，使得g(ξ)=f(ξ)-ξ=0，即f(ξ)=ξ。

Answer 3

证明：考虑函数F(x)=f(x)-x
则F(0)=f(0)-0=1
F(1)=f(1)-1=-1
根据介值定理，必存在一点ξ∈(0.1)，满足
F(ξ)=0
也即f(ξ)=ξ。
不明白请追问。

Answer 4

这个结论是不严密的，试想f(x)=0也是闭区间[0,1]的连续函数，并且f(0)=1,f(1)=0
但在(0.1),不存在ξ，使得f(ξ)=ξ

Answer 5

高数啊...我想想 似乎是高数A的第四章中值定理里面的罗尔定理，没记错是132页的

问题在于它的描述是必然存在f(x)的导数等于0啊