Question

已知等差数列an的首项为1,公差为d,前n项和为An等比数列bn的首项为1,公比为q前n项和为Bn

记Sn=B1+B2+...+Bn 求lim（An/n -Sn)=1 求d和q

Answer 1

an=1+(n-1)d An=n+n(n-1)d/2
Bn=q^(n-1) Sn=(1-q^n)/(1-q) q≠1时
（An/n -Sn)=1+(n-1)d/2-(1-q^n)/(1-q) 的极限为1
d=0时，(n-1)d/2=0 否则其 的极限为无穷大
若|q|<1 (1-q^n)/(1-q) 的极限为1 /(1-q)
只能是d=0 ,而得到 1/(1-q)=0 q无解
若|q|>1 则 (1-q^n)/(1-q) 的极限为无穷大，q^n/n 的极限也是无穷大
所以此时（An/n -Sn)的极限就是无穷大，不符合要求
所以只能是|q|=1
若q=1,则Sn=n 则 lim（An/n -Sn)=lim[(n-1)d/2-n]=1
若d=2 ，lim（An/n -Sn)=lim[(n-1)-n]=- 1 不符
若d≠2 ，lim（An/n -Sn)=lim[(d-2)n/2-d/2]=∞ 不符
若q=-1,则S2n=0 S(2n+1)=1

A[2n]/(2n) -S[n]=1+(2n-1)d/2 的极限为1 只可能是d=0
A[2n+1]/(2n+1) -S[2n+1]=(2n+1-1)d/2=nd的极限为1 是不可能的
所以本题无解