Question

证明两个有理数a b(a不等于b)之间存在无数个无理数？

Answer 1

证明：设这两个有理数为a,b,且a<b.
构造无穷数列{c(n)}，通项公式为
c(n)=a+(根号2)*(b-a)/(2^n).
(1)先证明{c(n)}所有项都在(a,b)内.
对任意n属于N+,有
0<1/(2^n)<=1/2.
又因为 0<根号2<2,
所以 0<(根号2)/(2^n)<1,
所以 a<a+(根号2)*(b-a)/(2^n)<b.
即 c(n)属于(a,b).
由n的任意性知，{c(n)}所有项都在(a,b)内.
(2)再证明{c(n)}各项不等.
对任意m,n属于N+,且m不等于n,有
2^m不等于2^n.
所以 a+(根号2)*(b-a)/(2^m)不等于a+(根号2)*(b-a)/(2^n).
由m,n的任意性知，{c(n)}各项不等.
(3)最后证明{c(n)}所有项都是无理数.
因为对任意n属于N+，2^n是有理数,
且 根号2是无理数,b-a不等于0,
所以 c(n)=a+(根号2)*(b-a)/(2^n) 是无理数.
综上,a,b间有无穷多个无理数
c(1),c(2),...
即任意两个有理数之间有无穷多个无理数.
= = = = = = =
构造方法是：
(1)在(0,1)内“按一定规律”找无穷多个无理数，记为数列{d(n)}。
这里选用 d(n)=(根号2)/(2^n).
(2)将d(n)进行线性变换，成为c(n)，使{c(n)}在(a,b)内。
则 c(n)=a+(b-a)*d(n).
(3)根据有理数和无理数四则运算的“有理性”，可知c(n)都是无理数。
注意：非零有理数*无理数=无理数。

Answer 2

简单些说：两个有理数a,b分别对应数轴上两个有理点，两点间本身即有无数个点，其中有无数个有理点，这些有理点是离散的，也有无数个无理点，这些无理点填满了有理点间的空隙，这样数轴（或者线段）才连续了

Answer 3

无数个