Question

高中数学题 寻大神帮忙

Answer 1

（1）f(x) = x|x|,定义域为整个实轴。
f(-x) = (-x)|-x| = -x|x| = -f(x),
f(x)为奇函数。

（2）f(x) = x|x-1| + n,
x<=1时，f(x) = x(1-x) + n = -x^2 + x + n = -x^2 + x - 1/4 + n + 1/4 = (n+1/4) - (x-1/2)^2,抛物线开口向下，x<1/2时f(x)单调递增，f(x) < f(1/2) = n + 1/4.
1>=x>1/2时，f(x)单调递减。n+1/4 = f(1) > f(x) > f(1) = n.
当f(1/2) = n + 1/4 < 0时，f(x)=0在x<=1时没有实根。
当f(1/2) = n + 1/4 = 0时，f(x)=0在x<=1时仅有1个实根x = 1/2。
当f(1/2) = n + 1/4 > 0时，f(x)=0在x<1/2时有且仅有1个实根。f(1) = n>0时，f(x)在1/2<x<=1上没有实根 。f(1) = n <= 0时，f(x) 在1/2 < x <=1上有且仅有1个实根。

x >1时，f(x) = x(x-1) + n = x^2 - x + n = x^2 - x + 1/4 + n-1/4 = (n-1/4) + (x-1/2)^2,抛物线开口向上。x>1>1/2时f(x)单调递增。f(x) > f(1) = n.
f(1) = n>= 0时，f(x)在x>1上没有实根。
f(1) = n<0 时,f(x)在x>1上有且仅有1个实根。

综合，
f(1/2) = n + 1/4 < 0时，f(1) = n < -1/4 < 0, f(x)仅在x>1上有且仅有1个实根，不符题意。
f(1/2) = n + 1/4 = 0时，f(1) = n = -1/4 < 0, f(x)在x>1上有且仅有1个实根，且x=1/2也是1个实根。符合题意。
f(1/2) = n + 1/4 > 0时，若f(1) = n > 0, 则f(x)仅在x<1/2时有且仅有1个实根，不符题意。
若f(1) = n = 0, 则，f(x)在x<1/2时有且仅有1个实根，且x=1也是1个实根，符合题意。
若f(1) = n < 0, 则 f(x) 在x<1/2, 1/2<x<1,以及x>1上分别各有1个实根，不符题意。
因此，只能n = -1/4或n=0, 才能满足题意。

（3）f(x) = x|x-m| - 1/2,
x< m时，f(x) = x(m-x) - 1/2 = -x^2 + xm - 1/2 = -x^2 + mx - m^2/4 + m^2/4 - 1/2 = (m^2/4 - 1/2) - (x - m/2)^2 , 抛物线开口向下。

x>=m时，f(x) = x(x-m) - 1/2 = x^2 - xm - 1/2 = x^2 - mx + m^2/4 - m^2/4 - 1/2 = (x-m/2)^2 - m^2/4 - 1/2, 抛物线开口向上。

m<=0时，m <= m/2 <= 0 <= x <= 1, f(x) = (x-m/2)^2 - m^2/4 - 1/2, 单调递增，-1/2 = f(0) <= f(x) <= f(1) = 1/2 - m < 0, m > 1/2与m<0矛盾。

0 < m <= 1时，0< m/2 < m <= 1.
0 <= x <= m/2 < m <=1时f(x) = (m^2/4 - 1/2) - (x-m/2)^2,单调递增，-1/2=f(0) <=f(x)<=f(m/2) = m^2/4 - 1/2 < 0成立，符合题意。
m/2 < x < m < 1时，f(x) = (m^2/4 - 1/2) - (x-m/2)^2,单调递减，0 > m^2/4 - 1/2 = f(m/2) > f(x) > f(m) = -1/2, 符合题意。
m/2 < m<=x<=1时，f(x) = (x-m/2)^2 - m^2/4 - 1/2单调递增，-1/2 = f(m) <= f(x) <= f(1) = 1/2-m < 0, m > 1/2才符合题意。.
因此，1/2 < m <= 1， 符合题意。.

1< m <= 2时，1/2 < m/2 < 1 < m.
0 <= x <= m/2 < m时，f(x) = (m^2/4 - 1/2) - (x-m/2)^2单调递增，-1/2 = f(0) <= f(x) <= f(m/2) = m^2/4 - 1/2 < 0, m < 2^(1/2).
1<m<2^(1/2)才符合题意。
m/2 < x <=1 < m时，f(x) = (m^2/4 - 1/2) - (x-m/2)^2单调递减。m^2/4 - 1/2 = f(m/2) > f(x) >= f(1).
因此，1<m<2^(1/2) 符合题意。

m>2时，m>m/2 > 1 >= x >=0.
f(x) = (m^2/4-1/2) - (x-m/2)^2单调递减。0 > f(0) = -1/2 >= f(x),符合题意。

综合，有，1/2<m<2^(1/2)或m>2时， 0<=x<=1时总有f(x)<0恒成立。

Answer 2

给点分吧。。虽然字写得有点丑。。但我写的还是很认真的，。。。

Answer 3

（1）f(x)=x|x| f(-x)=-x|x|=-f(x) 所以奇函数
（2）当x<1, f(x)=-x^2+x+n 当x>=1, f(x)=x^2-x+n f(x)=0有且只有两个解，则x=1和0时 或 x=1/2 时
当x=1和0时， n=0 当 x=0.5时 n=-1/4 所以 n=0或-1/4
（3） f(x)<0 恒成立，x>m时无解 则x<=m m>1 f(x)=-x^2+mx-1/2
取最大值f(x)=m^2/4-1/2 f(x)<0且 m>1 则 1<m<√2