Question

如图1，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的两顶点坐标分别为A（1，0），B（2， 3 ），CD

如图1，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的两顶点坐标分别为A（1，0），B（2， 3 ），CD为△ABC的中线，⊙M与△ACD的外接圆，BC交⊙M于点N．（1）将直线AB绕点D顺时针旋转使得到的直线l与⊙M相切，求此时的旋转角及直线l的解析式；（2）连接MN，试判断MN与CD是否互相垂直平分，并说明理由；（3）在（1）中的直线l上是否存在点P，使△PAN为直角三角形？若存在，求出所有 满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（图2为备用图）

Answer 1

（1）连接MD，则∠MDA=60度，当AB绕点D，顺时针旋转使得到的直线l与圆M相切时，DM⊥AB，∠MDA=90度，所以，此时的旋转角是顺时针30度．未旋转时，点D坐标（1.5， 3 2 ），可设直线与x的交点为P，那么PA=AD=1，则P（0，0），设出正比例函数解析式为y=kx，过点D，所以l的解析式为：y= 3 3 x； （2）MN⊥CD，且与CD互相垂直平分，因为点N是BC的中点，MN是中位线，有CD⊥AB，MN ∥ AB，所以MN⊥CD，同时MN平分CD，同时利用MN连线与CD的交点及点C组成的两个三角形全等，得出CD也平分了MN； （3）第1种情况：PA⊥AN，P（ 3 4 ， 3 4 ）； 第2种情况：PN⊥AN，P（ 9 4 ， 3 3 4 ）； 第3种情况：PA⊥PN，以AN为直径的圆与直线l的交点有2个， AN= 3 ， 设直线l上的点P坐标为（x， 3 3 x），则PA 2 +PN 2 =AN 2 =3， N点坐标为（ 5 2 ， 3 2 ）， （x-1） 2 +（ 3 3 x） 2 +（x- 5 2 ） 2 +（ 3 3 x- 3 2 ） 2 =3， 解得x= 6± 6 4 ，这是P点的横坐标， ∴P点纵坐标是 3 3 x．