Question

已知函数 f(x)= mx x 2 +n (m，n∈R) 在x=1处取到极值2．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设

已知函数 f(x)= mx x 2 +n (m，n∈R) 在x=1处取到极值2．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数 g(x)=lnx+ a x ．若对任意的x 1 ∈R，总存在x 2 ∈[1，e]，使得 g( x 2 )≤f( x 1 )+ 7 2 ，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ） f′(x)= m( x 2 +n)-2mx (x+n) 2 = m x 2 -2mx+mn ( x 2 +n) 2 （2分） 根据题意，f（x）= mx x 2 +n ， f′（x）=- mx 2 -mn (x 2 + n) 2 ； 由f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即 mn-m (1+n) 2 =0 m 1+n =2 ， 解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故 f(x)= 4x x 2 +1 （4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的定义域为R，且f（-x）=-f（x）．故f（x）为奇函数．f（0）=0，x＞0时，f（x）＞0，f（x）= 4 x+ 1 x ≤2．当且仅当x=1时取“=”． 故f（x）的值域为[-2，2]．从而 f( x 1 )+ 7 2 ≥ 3 2 ．依题意有 g(x ) 最小值 ≤ 3 2 （7分） 函数 g(x)=lnx+ a x 的定义域为（0，+∞）， g ′ (x)= 1 x - a x 2 = x-a x 2 （8分） ①当a≤1时，g′（x）＞0函数g（x）在[1，e]上单调递增，其最小值为 g(1)=a≤1＜ 3 2 合题意； ②当1＜a＜e时，函数g（x）在[1，a）上有g′（x）＜0，单调递减，在（a，e]上有g′（x）＞0，单调递增，所以函数g（x）最小值为f（a）=lna+1，由 lna+1≤ 3 2 ，得 0＜a≤ e ．从而知 1＜a≤ e 符合题意． ③当a≥e时，显然函数g（x）在[1，e]上单调递减，其最小值为 g(e)=1+ a e ≥2＞ 3 2 ，不合题意（11分）综上所述，a的取值范围为 a≤ e （12分）