Question

如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，根据下列条件，求∠BIC的度数．（1）若∠ABC=60°，∠ACB=

如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，根据下列条件，求∠BIC的度数．（1）若∠ABC=60°，∠ACB=70°，则∠BIC=______；（2）若∠ABC+∠ACB=130°，则∠BIC=______；（3）若∠A=50°，则∠BIC=______；（4）若∠A=110°则∠BIC=______；（5）从上述计算中，我们能发现已知∠A，求∠BIC的公式是：∠BIC=______；（6）如图，若BP，CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，交于点P，若已知∠A，则求∠BPC的公式是：∠BPC=______．

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Answer 1

（1）∵BI是∠ABC的平分线，∠ABC=60° ∴∠CBI= 1 2 ∠ABC=30° ∵CI是∠ACB的平分线，∠ACB=70° ∴∠BCI= 1 2 ∠ACB=35° 在△BCI中 ∠BIC+∠BCI+∠CBI=180° ∴∠BIC=180°-30°-35°=115°； （2）∵BI是∠ABC的平分线，CI是∠ACB的平分线 ∴∠CBI= 1 2 ∠ABC，∠BCI= 1 2 ∠ACB ∴∠CBI+∠BCI= 1 2 （∠ABC+∠ACB）= 1 2 ×130°=65° 在△BCI中 ∠BIC+∠BCI+∠CBI=180° ∴∠BIC=180°-65°=115°； （3）在△ABC中 ∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=50° ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130° ∵BI是∠ABC的平分线，CI是∠ACB的平分线 ∴∠CBI= 1 2 ∠ABC，∠BCI= 1 2 ∠ACB ∴∠CBI+∠BCI= 1 2 （∠ABC+∠ACB）= 1 2 ×130°=65° 在△BCI中 ∠BIC+∠BCI+∠CBI=180° ∴∠BIC=180°-65°=115°； （4）在△ABC中 ∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=110° ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=70° ∵BI是∠ABC的平分线，CI是∠ACB的平分线 ∴∠CBI= 1 2 ∠ABC，∠BCI= 1 2 ∠ACB ∴∠CBI+∠BCI= 1 2 （∠ABC+∠ACB）= 1 2 ×70°=35° 在△BCI中 ∠BIC+∠BCI+∠CBI=180° ∴∠BIC=180°-35°=145°； （5）在△ABC中 ∠A+∠ABC+∠ACB=180° ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A ∵BI是∠ABC的平分线，CI是∠ACB的平分线 ∴∠CBI= 1 2 ∠ABC，∠BCI= 1 2 ∠ACB ∴∠CBI+∠BCI= 1 2 （∠ABC+∠ACB）= 1 2 ×（180°-∠A）=90°- 1 2 ∠A 在△BCI中 ∠BIC+∠BCI+∠CBI=180° ∴∠BIC=180°-（90°- 1 2 ∠A）=90°+ 1 2 ∠A； （6）∵∠CBD，∠BCE是△ABC的外角 ∴∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC ∴∠CBD+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A ∵BP，CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线 ∴∠CBP= 1 2 ∠CBD，∠BCP= 1 2 ∠BCE ∴∠CBP+∠BCP= 1 2 （∠CBD+∠BCE）= 1 2 （180°+∠A）=90°+ 1 2 ∠A 在△BCP中° ∠BCP+∠CBP+∠BPC=180 ∴∠BPC=180°-（90°+ 1 2 ∠A）=90°- 1 2 ∠A．