Question

断裂力学中，复变函数求导问题

请问以下关系如何得到。
其中Z是解析函数，Z横为Z的一次积分，Z撇是Z的一阶倒数。

Answer 1

设z=x+iy，则∫zdz=z^2/2+C=(1/2)*(x^2-y^2+2ixy)+C，Re(∫zdz)=(1/2)*(x^2-y^2)+C，所以ðRe(∫zdz)/ðx=x=Re(z)。根据解析函数求导公式，z'=1，则Im(z')=0，而Im(z)=y，ðIm(z)/ðx=0，所以Im(z')=ðIm(z)/ðx。

追问

非常感谢你的帮助，看后受益匪浅。

但是我觉得这个证明是z=x+yi的特殊情况。
但是这里的大Z的意思是f（z）。
即f（z）=u(x,y)+v(x,y)i
此时又该怎么证明呢？

追答

如果Z=f(z)的话那两个式子也是成立的，设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，由于解析函数的原函数仍然是解析函数，所以可以设F(z)=∫f(z)dz=u1(x,y)+iv1(x,y)，则Re∫f(z)dz=u1(x,y)，ð(Re∫f(z)dz)/ðx=ðu1(x,y)/ðx，而由于F(z)解析，F‘(z)=ðu1(x,y)/ðx+iðv1(x,y)/ðx=u(x,y)+iv(x,y)，所以ðu1(x,y)/ðx=u(x,y)，即ð(Re∫f(z)dz)/ðx=u(x,y)=Re(z)。第二个式子就容易了，Imf(z)=v(x,y)，ð(Imf(z))/ðx=ðv(x,y)/ðx，而f'(z)=ðu(x,y)/ðx+iðv(x,y)/ðx，所以Imf'(z)=ðv(x,y)/ðx=ð(Imf(z))/ðx。