Question

设数列{an}的前项n和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an-3n．（1）设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数

设数列{an}的前项n和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an-3n．（1）设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列．（2）求数列{nan}的前n项和Tn．（3）若实数t使得an＜t4n恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

（1）∵S_n=2a_n-3n对于任意的正整数都成立，∴S_n+1=2a_n+1-3（n+1）
两式相减，得S_n+1-S_n=2a_n+1-3（n+1）-2a_n+3n
∴a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，即a_n+1=2a_n+3，∴a_n+1+3=2（a_n+3）
由已知得 S₁=2a₁-3即a₁=2a₁-3，∴a₁=3
∴首项b₁=a₁+3=6，即bn＝

an+1+3

an+3

＝2对一切正整数都成立．
∴数列{b_n}是等比数列．∴bn＝6?2n?1．∴an＝6?2n?1?3＝3?2n?3． 
（2）∵nan＝3n?2n?3n，∴Tn＝3(1×2+2×22+3×23+…+n?2n)-3（1+2+3+…+n）
∴2T_n=3（1×2²+2×2³+…+n?2ⁿ⁺¹）-6（1+2+3+…+n），
∴?Tn＝3(2+22+…+2n)?3n?2n+1+

3n(n+1)

2

=3×

2(2n?1)

2?1

-6n?2ⁿ+

3n(n+1)

2

∴Tn=(6n?6)?2n+6?

3n(n+1)

2

（3）an＞t?4n，即t＞?

3

4n

+

3

2n

．
令y＝?

3

4n

+

3

2n

=?3(

1

2n

?

1

2

)2+

3

4

，
∴ymax＝

3

4

．
∴t＞

3

4

．