Question

不等式ax2+（a+1）x+1＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是______

不等式ax2+（a+1）x+1＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

当a=0时，不等式ax²+x+1＜0化为x+1＜0，可解得x＜-1，不是空集，满足题意；
当a＞0时，对应的二次函数y=ax²+（a+1）x+1，开口向上，需一元二次方程ax²+x+1=0有两个不同的根，
即△=（a+1）²-4a＞0，解得a≠1，故0＜a＜1或a＞1；
当a＜0时，对应的二次函数y=ax²+（a+1）x+1，开口向下，符合题意，
综上可得，实数a的取值范围是：a≠1．
故答案为；a≠1．

Answer 2

1. a的取值范围是a≥0

2. 计算过程如下所示：

　　若a=0，则原式为x+1<0,显然满足要求，故a=0合适，

　　若a≠0，则此式为二次抛物线，

　　当a>0,开口向上，则一定不符合要求

　　当a<0,开口向下，则只需要最大值m>0即可，不等式最大值为 m=1-(a+1)^2/4a>0，化简得a^2-2a+1>0 显然a可取任何值，又a<0，所以取a<0

　　综上所述，a的取值范围为a≤0