Question

已知函数f（x）=|x-a|（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求不等式f（x）＜1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）+|x+1|≥3

已知函数f（x）=|x-a|（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求不等式f（x）＜1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）+|x+1|≥3在R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）a=2，不等式f（x）＜1，化为|x-2|＜1，解得1＜x＜3．
不等式的解集为：{x|1＜x＜3}．
（Ⅱ）由f（x）=|x-a|，
设g（x）=f（x）+|x+1|，
即g（x）=|x-a|+|x+1|，
其几何意义就是数轴上的点到a与-1的距离之和，
不等式f（x）+|x+1|≥3在R上恒成立，就是距离之和的最小值也大于3，
即|a+1|≥3，解得，a≥2或a≤-4，
∴a的取值范围是（-∞，-4]∪[1，+∞）．