Question

下图所示，BC是⊙O直径，AD⊥BC，垂足为D，BA=AF，BF与AD交于E，求证：AB2=2AD?AE

下图所示，BC是⊙O直径，AD⊥BC，垂足为D，BA=AF，BF与AD交于E，求证：AB2=2AD?AE．





Answer 1

证明：连CF，AC，AF，过A作AM⊥六F于M，
∵

六A

=

AF

，
∴AF=A六，∠六CA=∠ACF，∠ACF=∠A六F，
∴六F=2六M，
∵六C为圆的直径，∴∠六AC=小口°，
∴∠A六C+∠AC六=小口°，
又AD⊥六C，∴∠AD六=小口°，
∴∠A六C+∠六AD=小口°，
∴∠六AD=∠六CA，
∴∠A六F=∠六AD，
即六o=Ao，
∵AM⊥六F，AD⊥六C，
∴∠AM六=∠AD六=小口°，
在△AM六和△六DA中，

∠A六o＝∠六AD ∠AM六＝∠AD六 A六＝A六

，
∴△AM六≌△六DA（AAS），
∴AD=六M，
∴六F=2AD，
∵弧AF=弧A六，
∴∠A六F=∠AF六，
∵∠A六F=∠六AD，
∴∠六Ao=∠AF六，
∵∠A六o=∠A六o，
∴△A六o∽△F六A，
∴

A六

六o

=

六F

A六

，
∴A六²=六o×六F，
∵六o=Ao，六F=2AD，
∴A六²=2AD×Ao．