Question

设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5+a13=34，S3=9．（1）求等差数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的通

设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5+a13=34，S3=9．（1）求等差数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的通项公式为bn＝1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）设数列{cn}的通项公式为cn＝anan+t，问是否存在正整数t，使得c1，c2，cm（m≥3，m∈N*）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）在等差数列{a_n}中，由a₅+a₁₃=34，S₃=9得

(a1+4d)+(a1+12d)＝34 3a1+3d＝9

；
解得a₁=1，b=2；
∴{a_n}的通项公式为a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）∵a_n=2n-1，∴bn＝

1

anan+1

=

1

(2n?1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n?1

-

1

2n+1

）；
∴{b_n}的前n项和T_n=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

（

1

2n?1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

；
（3）假设存在满足题意的正整数t和m，
∵c_n=

an

an+t

=

2n?1

2n?1+t

，且c₁、c₂、c_m（m≥3，m∈N^*）成等差数列，
∴c₁+c_m=2c₂，即

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