Question

已知函数y=f（x）为R上的奇函数，y=f（x）的导数为f′（x），且当x∈（-∞，0]时，不等式f（x）+xf′（x

已知函数y=f（x）为R上的奇函数，y=f（x）的导数为f′（x），且当x∈（-∞，0]时，不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若|a+1|f（|a+1|）≥sinθf（sinθ）对一切θ∈[?π2，π2]恒成立，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

令F（x）=xf（x），则F′（x）=f（x）+xf'（x），
当x∈（-∞，0]时，不等式f（x）+xf'（x）＜0成立，即F′（x）＜0，
则F（x）在（-∞，0]为减函数，
又由函数y=f（x）为R上的奇函数，f（-x）=-f（x），
则F（-x）=（-x）f（-x）=xf（x）=F（x），故F（x）在R上为偶函数；
又由F（x）在（-∞，0]为减函数，则F（x）在[0，+∞）为增函数，
若|a+1|f（|a+1|）≥sinθf（sinθ）对于一切θ∈[-

π

2

，

π

2

]恒成立，
则有|a+1|≥|sinθ|对于一切θ∈[-

π

2

，

π

2

]恒成立，
而当θ∈[-

π

2

，

π

2

]时，|sinθ|≤1，
则必有|a+1|≥1成立，
解可得，a≤-2或a≥0，即a的取值范围是（-∞，-2]∪[0，+∞）；
故答案为（-∞，-2]∪[0，+∞）．