Question

求函数y=X+√X(2-x) 的值域.

Answer 1

函数定义域为[0，2]
y-x＝√x(2-x)
两边平方 y²-2yx＋x²＝2x-x²
2x²-2(y＋1)x＋y²＝0 ①
由函数定义域得①式在[0，2]上有解，
下面讨论
⑴当(y＋1)/2＜0时，即y＜-1，
有f(0)≤0，
f(2)≥0，
得 y无解，
⑵当0≤(y＋1)/2≤2，即-1≤y≤3时，
只要△≥0，
得1-√2≤y≤1＋√2
⑶当(y＋1)/2＞2，即y＞3时，
有f(2)≤0
得y无解，
∴综上所述，y的取值范围为[1-√2，1＋√2]，即值域。

Answer 2

解：
y‘=1+(x-1)/√x(2-x)
x=0或2 时导数不存在 y（0）=0 y（2）=2
令y‘=0
所以得2x²-4x+1=0 ∴x=1+√2/2 或 1-√2/2
y（1+√2/2）=1+√2
y（1-√2/2）=1
所以值域为【0,2】

Answer 3

先根据x(2-x)>=0求出定义域[0,2]，然后将原函数对x求导得到导函数
y'=1+(1-x)/sqrt(x(2-x)),令导函数为0,得到极大值点x=1+sqrt(2)/2,将极大值点代入原函数，得到极大值，也是最大值ymax=1+sqrt(2),值域为[0,1+sqrt(2)]
或者如果你还没学导数。利用不等式[sqrt(a)+sqrt(b)]/2<=sqrt[(a+b)/2]，原函数即
y=sqrt[(x-1)^2]+sqrt[x(2-x)]+1<=2*sqrt{[(x-1)^2+x(2-x)]/2}+1=sqrt(2)+1;
也同样得到y的最大值为1+sqrt(2);