Question

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且纵坐标为4，|PF|=4．（1）求抛物线的方程；

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且纵坐标为4，|PF|=4．（1）求抛物线的方程；（2）设直线l与抛物线交于A，B两点，且∠APB的角平分线与x轴垂直，求△PAB面积最大时直线l的方程．

Answer 1

（1）设点P（x₀，4），∵|PF|=4，
∴由抛物线的定义得x0+

p

2

＝4．
又∵4²=2px₀，二式联立解得x₀=2，p=4．
故此抛物线的方程为y²=8x．（4分）
（2）由（1）知点P的坐标为（2，4），
由∠APB的角平分线与x轴垂直，
知PA，PB的斜率互为相反数．（5分）
设直线PA的方程为y-4=k（x-2），（k≠0）
由

y＝kx?2k+4 y2＝8x

，消去x得ky²-8y-16k+32=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+4＝

8

k

，即y1＝

8

k

?4，
同理y2＝?

8

k

?4．（7分）
∴直线AB的斜率为kAB＝

y2?y1

x2?x1

＝

8(y2?y1)

y22?y12

＝

8

y1+y2

＝?1．（8分）
设直线AB的方程为y=-x+b，
把x=-y+b代入抛物线方程，得y²+8y-8b=0，
由题意知△=64+32b＞0，且y₁y₂=-8b≥0，
从而-2＜b≤0．又y₁+y₂=-8，
∴|AB|＝

1+(?1)2

?|y1?y2|＝8

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