Question

已知椭圆的焦点为F1（-t，0），F2（t，0），（t＞0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项

已知椭圆的焦点为F1（-t，0），F2（t，0），（t＞0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项．（1）求椭圆方程；（2）如果点P在第二象限且∠PF1F2=1200，求tan∠F1PF2的值；（3）设A是椭圆的右顶点，在椭圆上是否存在点M（不同于点A），使∠F1MA=90°，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1，则2a=|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=2?2t，∴a=2t，b²=a²-c²=3t²，
所以所求椭圆方程为

x2

4t2

+

y2

3t2

＝1．
（2）设|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，则

d 2 2 ＝ d 2 1 +|F1F2|2?2d1|F1F2|cos1200 d1+d2＝4t.

解方程组，得d1＝

6

5

t，d2＝

14

5

t．
由正弦定理，得

2t

sin∠F1PF2

＝

14t 5

sin1200

，∴sin∠F1PF2＝

5 3

14

，∴