Question

在数列{an}中，已知a1=1，an+1-an=sin(n+1)π2，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2014=______

在数列{an}中，已知a1=1，an+1-an=sin(n+1)π2，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2014=______．

Answer 1

由a_n+1-a_n=sin

(n+1)π

2

，
所以a_n+1=a_n+sin

(n+1)π

2

，
∴a₂=a₁+sinπ=1，a₃=a₂+sin

3π

2

=1-1=0，a₄=a₃+sin2π=0，a₅=a₄+sin

5π

2

=0+1=1，∴a₅=a₁=1
可以判断：a_n+4=a_n
数列{a_n}是一个以4为周期的数列，2014=4×503+2
因为S₂₀₁₄=503×（a₁+a₂+a₃+a₄）+a₁+a₂=503×（1+1+0+0）+1+1=1008，
故答案为：1008