Question

这有几道奥数题，哪位高手帮忙做一下

<p>1、有6个砝码分别重1g,2g,4g,8g,16g,32g，用天平秤物体重量时，砝码只能放在天平的同一侧，那么用这6个砝码可以称出多少种不同的重量？</p> <p>2、证明：某种商品有7kg和5kg两种包装，如果需要n千克（n>23）这种商品，无需拆散包装，用这两种包装接可搭配而成。</p> <p>3、大家都知道，1个三角形最多可将平面分成两个部分，2个三角形最多了将平面分成8个部分........试探究，100个三角形最多可将平面分成多少个部分？</p>

Answer 1

1,2^6-1 2,设7kgX包，5kgY包，X,Y均为大于等于0的整数 n=7X+5Y=6(X+Y)+X-Y 当X+Y=3时，-3≤X-Y≤3 n=15,17,19,21 当X+Y=4时，-4≤X-Y≤4 n=20,22,24,26,28 当X+Y=5时，-5≤X-Y≤5 n=25,27,29,31,33,35 以后X+Y≥6，n的取值便能延续以上区间 所以当n≥24时便能取到一切整数 3,1个三角形将平面分成2个部分 2个三角形将平面分成8个部分 3个三角形将平面分成20个部分 以此类推，第n个三角形和前面n-1个三角行最多有6n-6个交点，因为每条边两个交点，所以第n个三角形最多能将平面多分成6n-6个部分 所以a1=2 a1+(2-1)6=a2=8 a2+(3-1)6=a3=20 所以a(n-1)+(n-1)6=an 由累加得a1+3(n-1)n=an an=3n^2-3n+2 当n=1时a1=2成立所以an=3n^2-3n+2 当n=100时an=29702 即最多能将平面分成29702个部分

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