Question

在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+(3^n+1)+2n+1,求{an}的通项公式。

求解：解析中第一行“设an+1+……”的这个式子是怎么化出来的？
请结合题目给出详细步骤！谢谢！

Answer 1

第一行不是化出来的，是设出来的。
当然设也是有规矩的。
你看你的题目里有an+1=……中有幂运算3^(n+1),有一般运算2n+1，所以你设的时候就要把这些作为成分加进去。
至于怎么构造新数列，首先你就要推断，因为这题目中an前有个2所以，应该是等比数列（这是重要的一步），其次就是怎么写了？这都是一样的格式，有幂运算的就要有λ加幂运算的内容，一般运算的，就写pn+q。都有就都写。（这里的n，具体还要看前面的a是几项，若是an+1，就要是p（n+1）+q。
清楚吗？

Answer 2

此题的解析在设题主还未明白的第一行时就已经以以2为公比的等比数列为基础了，至于为什么这么设只能说是经验之谈，或者已经用列举法列举了一定量的项通过观察得到答案是以2为公比的等比数列这一结果了，然后有很强针对性地进行列式。至于具体的方法楼上几位朋友都已经说的很清楚了，既然是以2为公比那就将等式的左边全部带（n+1），右边全部为（n），再以2相连即可。题主不妨先试试列举观察，再列式，列举法也是很好很正经的数学方法哟~

Answer 3

待定系数法，构造数列，把含有n+1的式子放在等式的左边，在右边构造含n的式子，得到新数列的递推关系。

追问

能请您结合题目说详细点么？

Answer 4

解析的目的是构造出一个公比是2的等比数列，于是设了三个待定系数。第一行那个式子是凑出来的。
ps：赞同 菜鸟13343 的说明

Answer 5

a(n+1)=2a(n) + 2n+1
设a(n+1)+x(n+1)+y=2[a(n) + xn+y]
整理得a(n+1)=2a(n) + xn+y-x
x=2 y-x=1 y=3
a(n+1)+2(n+1)+3=2[a(n) + 2n+3]
记b(n)=a(n) + 2n+3
则b(n+1)=2b(n) b(1)=a(1)+2+3=6
b(n)=b(1)*2^(n-1)=6*2^(n-1)=3*2^n
所以a(n)=3*2^n-2n-3