Question

已知a+b=1，b＞0，a≠0则1/2|a| +|a|/(b+1) 的最小值是多少？求教

Answer 1

已知a+b=1，b＞0
所以a=1-b<1
一 、 当0<b<1时，0<a<1
1/2|a| +|a|/(b+1) =1/2a+a/(b+1)=1/2a+a/(1-a+1)=1/2a+a/(2-a)
=1/2a-1+2/(2-a)>=-1+2√(1/2a*2/(2-a))
当两者相等取等号，解1/2a=2/(2-a)，有a=2/5,满足0<a<1，带入求出最小值3/2
二 、当b＞1时，a<0
1/2|a| +|a|/(b+1) =-1/2a-a/(2-a)
令m=-a，那么m>0
上式=1/2m +m/(2+m) =1/2m +1-2/(2+m) =1+2-3m/2m(2+m)
令y=1+2-3m/2m(2+m)，该函数单调递减，最小值出现在m取值最大时，此时1/2m =0，2/(2+m)=0，最小值1
又因为
a≠0，所以b≠1
综上，最小值3/2