Question

如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的

如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）连结BE，设DC＝a，求BE的长.

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Answer 1

（1）∵在等腰Rt△ABC中，∠CAD＝∠CBD＝15 o ， ∴∠1＝∠2＝45°－15 o ＝30 o ，∴AD＝BD， 又BC＝AC, DC公共∴△BDC≌△ADC（SSS） ∴∠3＝∠4＝45 o ． ∴∠CDE＝15 o ＋45 o ＝60° 又∠BDE＝30 o ＋30 o ＝60°，∴DE平分∠BDC (注：证△全等，必须先证AD＝BD，也可以SAS，) （2）∵CE＝CA，∴等腰△ACE中∠ACE＝150°，∴∠5＝150°－90°＝60°， 又CE＝CA＝BC，∴△BCE为正三角形，BE＝AC 由等腰Rt△ABC性质，延长CD交AB于F，则△ADF为Rt△，设DF＝x, 在Rt△ADF中，∠1＝30 o ，则有 ，解得  （舍去负值）， ∴BE＝AC＝ ＝ ＝

（1）先证得AD=BD，得△BDC≌△ADC，进而求出∠CDE＝60°，易得∠BDE＝60°，所以DE平分∠BDC； （2）延长CD交AB于F，则△ADF为Rt△，利用勾股定理求解即可。