Question

在等比数列{a n }中，a 1 =1，前n项和为S n ．若数列{S n + 1 2 }也是等比数列，则S n 等于__

在等比数列{a n }中，a 1 =1，前n项和为S n ．若数列{S n + 1 2 }也是等比数列，则S n 等于______．

Answer 1

当公比为1时，S n =n，数列{S n + 1 2 }为数列{n+ 1 2 }为公差为1的等差数列，不满足题意； 当公比不为1时，S n = 1- q n 1-q ，∴S n + 1 2 = 1- q n 1-q + 1 2 ，S n+1 + 1 2 = 1- q n+1 1-q + 1 2 ∴ S n+1 + 1 2 S n + 1 2 = 2 q n+1 +q-3 2 q n +q-3 = q(2 q n +q-3)- q 2 +4q-3 2 q n +q-3 =q+ - q 2 +4q-3 2 q n +q-3 ∵数列{S n + 1 2 }是等比数列 ∴-q 2 +4q-3=0 ∵q≠1，∴q=3 ∴S n = 1- q n 1-q = 1- 3 n 1-3 = 1 2 ( 3 n -1) 故答案为： 1 2 ( 3 n -1)