Question

24、已知：关于x的一元二次方程x的平方-（2k-1)x+4k-6=0(1)试说明：无论k为何值方程总有两个实数根(2)当方

24、已知：关于x的一元二次方程x的平方-（2k-1)x+4k-6=0(1)试说明：无论k为何值方程总有两个实数根(2)当方程两根的倒数和等于-1时，求k的值(3)若抛物线y=x的平方-(2k-1)x+4k-6与x轴两交点的横坐标分别为x1，x2，且x1>0>x2，x1-x2<6，求k的取值范围

Answer 1

解：
(1)
方程判别式△=[-(2k-1)]²-4(4k-6)
=4k²-4k+1-16k+24
=4k²-20k+25
=(2k-5)²
平方项恒非负，(2k-5)²≥0，即无论k取何实数，方程恒有实根，方程总有两个实根。
(题目没有说两不相等的实根，因此只要判别式≥0就可以了)
(2)
设两根分别为x1，x2，由韦达定理得
x1+x2=2k-1
x1x2=4k-6
1/x1 +1/x2 =-1
(x1+x2)/(x1x2)=-1
(2k-1)/(4k-6)=-1
(2k-1)+(4k-6)=0
6k-7=0
k=7/6
(3)
x1>0>x2，x1-x2<6，则
方程判别式△>0，两根之积x1x2<0，(x1-x2)²<36
(2k-5)²>0 k≠5/2
x1x2<0 4k-6<0 k<3/2
(x1-x2)²<36
(x1+x2)²-4x1x2-36<0
(2k-1)²-4(4k-6)-36<0
4k²-20k-11<0
(2k-11)(2k+1)<0
-1/2<k<11/2
综上得-1/2<k<3/2