Question

在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2，n∈N*）．（1）试判断数列{1an}是否成等差数列；（2）设{

在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2，n∈N*）．（1）试判断数列{1an}是否成等差数列；（2）设{bn}满足bn=1an，求数列{bn}的前n项和Sn；（3）若λan+1an+1≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N^*），
∴a_n-1-a_n=3a_na_n-1，
∴

1

an

?

1

an?1

＝3（n≥2）．
故数列{

1

an

}是等差数列．
（2）由（1）的结论可得b_n=

1

an

=1+（n-1）×3，
所以b_n=3n-2，
∴S_n=

n(1+3n?2)

2

=

n(3n?1)

2

．
（3）将a_n=

1

bn

=

1

3n?2

代入λa_n+

1

an+1

≥λ并整理得λ（1-

1

3n?2

）≤3n+1，
∴λ≤

(3n+1)(3n?2)

3n?3

，
原命题等价于该式对n≥2恒成立．
设C_n=

(3n+1)(3n?2)

3n?3

，
则C_n+1-C_n=

(3n+1)(3n?4)

3n(n?1)

＞0，C_n+1＞C_n，
∵n=2时，C_n的最小值C₂为

28

3

，
∴λ的取值范围是（-∞，

28

3

]．