Question

已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且Sn=an(an+1)2，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式（Ⅱ）

已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且Sn=an(an+1)2，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式（Ⅱ）设bn=（2an-1）2 an，Mn=b1+b2+…+bn，求Mn．

Answer 1

（Ⅰ）∵Sn＝

an(an+1)

2

，n∈N*，n＝1时，a1＝S1＝

a1(a1+1)

2

，
∴a₁=1或a₁=0．又a_n＞0，∴a₁=1．
由

2Sn＝ a 2 n +an，n∈N* 2Sn?1＝ a 2 n?1 +an?1，n≥2

，得2an＝2(Sn?Sn?1)＝

a

2 n

?

a

2 n?1

+an?an?1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1，n≥2，
∴数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴a_n=n…（6分）
（Ⅱ）bn＝(2n?1)2n，
∴Mn＝1?2+3?22+5?23+…+(2n?1)?2n，…①
∴2M_n=1?2²+3?2³+…+（2n-3）?2ⁿ+（2n-1）?2ⁿ⁺¹…②
由①-②得?Mn＝1?2+2?22+23+…+2?2n?(2n?1)?2n+1＝

4?2n+2

1?2

?(2n?1)2n+1?2
∴Mn＝(2n?3)?2n+1+6．…（12分）