Question

已知二次函数的图象的顶点坐标为M（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为

已知二次函数的图象的顶点坐标为M（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的解析式；（2）连结BM，AM，求出△MAB的面积；（3）若P（a，0）是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D，E两点．①当0＜a＜3时，求线段DE的最大值；②若直线AB与抛物线的对称轴交点为N，问是否存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）²，
∵点A（3，4）在抛物线上，则4=a（3-1）²，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）²
∵点A（3，4）也在直线y=x+m，即4=3+m，
解得m=1；
（2）过A作AH⊥PM于H，
∵B（0，1），M（1，0），A（3，4），
∴OB=1，OH=3，AH=4，
∴△MAB的面积=S_梯形BOHA-S_△BOM-S_△AMH=7.5-

1

2

×1×1-

1

2

×2×4=3；

（3）①已知P点坐标为P（a，0），则E点坐标为E（a，a²-2a+1），D点坐标为D（a，a+1），
h=DE=y_D-y_E=a+1-（a²-2a+1）=-a²+3a，
∴h与a之间的函数关系式为h=-a²+3a=-（a-

3

2

）²+

9

4

（0＜a＜3），
∴线段DE的最大值是

9

4

；
②存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
理由是∵M（1，0），
∴把x=1代入y=x+1得：y=2，
即N（1，2），
∴MN=2，
要使四边形NMED是平行四边形，必须DE=MN=2，
由①知DE=|-a²+3a|，
∴2=|-a²+3a|，
解得：a₁=2，a₂=1，a₃=

3+ 17

2

，a₄=

3? 17

2

，
∴（2，0），（1，0）（因为和M重合，舍去）（

3+ 17

2

，0），（

3? 17

2

，0）
∴P的坐标是（2，0），（

3+ 17

2

，0），（

3? 17

2

，0）．