Question

已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，，

已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点
（1）求证：BF=AC（2）求证：CE=二分之一BF

Answer 1

证明：
∵CD⊥AB
∴∠BDC＝∠ADC＝90
∵∠ABC=45，∠DBF+∠DFB＝90
∴BD＝CD
∵BE⊥AC
∴∠BEA＝∠BEC＝90
∴∠ACD+∠CFE＝90
∵∠CFE＝∠DFB
∴∠ACD+∠DFB＝90
∴∠DBF＝∠ACD
∴△BDF≌△CDA （ASA）
∴BF＝AC
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE＝∠CBE
∵BE＝BE
∴△ABE≌△CBE （ASA）
∴CE＝AE＝AC/2
∴CE＝BF/2

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Answer 2

1.已知∠ABC=45°，CD⊥AB于D。
所以∠BDC=90.
所以三角形ADC为等腰直角三角形。所以可知BD=DC。
再看三角形BDF和三角形ADC可以发现因为BE⊥AC于E。可以得到∠AEB为直角。可以得出:三角形ABE和ADC相似。互为相似三角形。
进而可推出三角形BDF和三角形ADC相似。因为AD=DC。
所以三角形BDC与ADC全等。
所以BF=AC.
2.由上面可知：BF=AC.
因为BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E。可得：三角形ABC为等腰三角形。（AC为底）
由于等腰三角形的性质可以知道BE一定是垂直平分AC的。
所以CE=二分之一AC。
因为BF=AC.
所以可得CE=二分之一BF.