不定积分中的第二类换元法问题
对根号(a平方-x平方)dx求不定积分时,运用第二类换元法,设x=asint,-pi/2<t<pi/2,我想知道的是这个t的范围是怎么求出来的呢,是用x的范围来求定义域的...
对根号(a平方 - x平方)dx求不定积分时,运用第二类换元法,设x=asint,
-pi/2<t<pi/2,我想知道的是这个t的范围是怎么求出来的呢,是用x的范围来求定义域的,还是只需要t的范围满足x的范围条件就行呢?
若t的范围设置在pi/2<t<3pi/2,那么此时积分的结果还对啊?还有一个是反三角函数的问题,比如y=arcsinx的值域是-pi/2<y<pi/2那么若在y=sinx上选择
pi/2<x<3pi/2的范围求sinx的反函数,那么此时的发三角函数存在吗?
同样的在-pi<x<pi的范围求cosx的反函数,这个反函数存在吗?
谢谢
但是在不定积分中pi/2<t<3pi/2时,您所说的以3pi/2为积分下限,pi/2为积分上限,体现不出来啊?设定pi/2<t<3pi/2时,我算出的原函数是错的,请问在不定积分中这个由x确定t的范围是怎么做的啊?麻烦您帮我分析一下,谢谢 展开
-pi/2<t<pi/2,我想知道的是这个t的范围是怎么求出来的呢,是用x的范围来求定义域的,还是只需要t的范围满足x的范围条件就行呢?
若t的范围设置在pi/2<t<3pi/2,那么此时积分的结果还对啊?还有一个是反三角函数的问题,比如y=arcsinx的值域是-pi/2<y<pi/2那么若在y=sinx上选择
pi/2<x<3pi/2的范围求sinx的反函数,那么此时的发三角函数存在吗?
同样的在-pi<x<pi的范围求cosx的反函数,这个反函数存在吗?
谢谢
但是在不定积分中pi/2<t<3pi/2时,您所说的以3pi/2为积分下限,pi/2为积分上限,体现不出来啊?设定pi/2<t<3pi/2时,我算出的原函数是错的,请问在不定积分中这个由x确定t的范围是怎么做的啊?麻烦您帮我分析一下,谢谢 展开
2个回答
2008-04-26
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(1)是用x的取值范围来确定t的取值范围,你也可以设定pi/2<t<3pi/2,但是你要注意积分时的t的范围应当与x 的范围对应,就是说-pi/2<t<pi/2要积分从-pi/2到pi/2的话,那么你用pi/2<t<3pi/2就应当从3pi/2积分到pi/2,因为x与t是一一对应的。
(2)
y=sinx中pi/2<x<3pi/2时,反函数为y=arcsinx+pi
y=cosx中pi<x<pi时,为不满足单调条件。比如说现在一个y对应两个x ,那么如果有反函数的话就是一个x对应两个y了,显然不符合函数定义。
sorry,前面说的错了。你看看换元之后,有个cos^2x要开方出来,如果你选择pi/2<t<3pi/2之后,从cos的函数图可以看出来这个范围里都是负数,因此前面要加一个负号,然后再从3pi/2积分到pi/2.
要这样理解,换元就是替换,只要别的元素在区间可以把x表示出来,就可以替换。(当然是要为积分更简便而服务了^_^)
(2)
y=sinx中pi/2<x<3pi/2时,反函数为y=arcsinx+pi
y=cosx中pi<x<pi时,为不满足单调条件。比如说现在一个y对应两个x ,那么如果有反函数的话就是一个x对应两个y了,显然不符合函数定义。
sorry,前面说的错了。你看看换元之后,有个cos^2x要开方出来,如果你选择pi/2<t<3pi/2之后,从cos的函数图可以看出来这个范围里都是负数,因此前面要加一个负号,然后再从3pi/2积分到pi/2.
要这样理解,换元就是替换,只要别的元素在区间可以把x表示出来,就可以替换。(当然是要为积分更简便而服务了^_^)
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求不定积分的方法
换元法
换元法(一):设f(u)具有原函数F(u),u=g(x)可导,那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函数.
即有换元公式:
例题:求
解答:这个积分在基本积分表中是查不到的,故我们要利用换元法。
设u=2x,那末cos2x=cosu,du=2dx,因此:
换元法(二):设x=g(t)是单调的,可导的函数,并且g'(t)≠0,又设f[g(t)]g'(t)具有原函数φ(t),
则φ[g(x)]是f(x)的原函数.(其中g(x)是x=g(t)的反函数)
即有换元公式:
例题:求
解答:这个积分的困难在于有根式,但是我们可以利用三角公式来换元.
设x=asint(-π/2<t<π/2),那末,dx=acostdt,于是有:
关于换元法的问题
不定积分的换元法是在复合函数求导法则的基础上得来的,我们应根据具体实例来选择所用的方法,求不定积分不象求导那样有规则可依,因此要想熟练的求出某函数的不定积分,只有作大量的练习。
分部积分法
这种方法是利用两个函数乘积的求导法则得来的。
设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.我们知道,两个函数乘积的求导公式为:
(uv)'=u'v+uv',移项,得
uv'=(uv)'-u'v,对其两边求不定积分得:
,
这就是分部积分公式
例题:求
解答:这个积分用换元法不易得出结果,我们来利用分部积分法。
设u=x,dv=cosxdx,那末du=dx,v=sinx,代入分部积分公式得:
关于分部积分法的问题
在使用分部积分法时,应恰当的选取u和dv,否则就会南辕北辙。选取u和dv一般要考虑两点:
(1)v要容易求得;
(2)容易积出。
换元法
换元法(一):设f(u)具有原函数F(u),u=g(x)可导,那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函数.
即有换元公式:
例题:求
解答:这个积分在基本积分表中是查不到的,故我们要利用换元法。
设u=2x,那末cos2x=cosu,du=2dx,因此:
换元法(二):设x=g(t)是单调的,可导的函数,并且g'(t)≠0,又设f[g(t)]g'(t)具有原函数φ(t),
则φ[g(x)]是f(x)的原函数.(其中g(x)是x=g(t)的反函数)
即有换元公式:
例题:求
解答:这个积分的困难在于有根式,但是我们可以利用三角公式来换元.
设x=asint(-π/2<t<π/2),那末,dx=acostdt,于是有:
关于换元法的问题
不定积分的换元法是在复合函数求导法则的基础上得来的,我们应根据具体实例来选择所用的方法,求不定积分不象求导那样有规则可依,因此要想熟练的求出某函数的不定积分,只有作大量的练习。
分部积分法
这种方法是利用两个函数乘积的求导法则得来的。
设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.我们知道,两个函数乘积的求导公式为:
(uv)'=u'v+uv',移项,得
uv'=(uv)'-u'v,对其两边求不定积分得:
,
这就是分部积分公式
例题:求
解答:这个积分用换元法不易得出结果,我们来利用分部积分法。
设u=x,dv=cosxdx,那末du=dx,v=sinx,代入分部积分公式得:
关于分部积分法的问题
在使用分部积分法时,应恰当的选取u和dv,否则就会南辕北辙。选取u和dv一般要考虑两点:
(1)v要容易求得;
(2)容易积出。
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