Question

不定积分中的第二类换元法问题

对根号（a平方 - x平方)dx求不定积分时，运用第二类换元法,设x=asint,
-pi/2<t<pi/2，我想知道的是这个t的范围是怎么求出来的呢，是用x的范围来求定义域的，还是只需要t的范围满足x的范围条件就行呢？
若t的范围设置在pi/2<t<3pi/2，那么此时积分的结果还对啊？还有一个是反三角函数的问题，比如y=arcsinx的值域是-pi/2<y<pi/2那么若在y=sinx上选择
pi/2<x<3pi/2的范围求sinx的反函数，那么此时的发三角函数存在吗？
同样的在-pi<x<pi的范围求cosx的反函数，这个反函数存在吗？
谢谢
但是在不定积分中pi/2<t<3pi/2时，您所说的以3pi/2为积分下限，pi/2为积分上限，体现不出来啊？设定pi/2<t<3pi/2时，我算出的原函数是错的，请问在不定积分中这个由x确定t的范围是怎么做的啊？麻烦您帮我分析一下，谢谢

Answer 1

（1）是用x的取值范围来确定t的取值范围，你也可以设定pi/2<t<3pi/2，但是你要注意积分时的t的范围应当与x 的范围对应，就是说-pi/2<t<pi/2要积分从-pi/2到pi/2的话，那么你用pi/2<t<3pi/2就应当从3pi/2积分到pi/2，因为x与t是一一对应的。
（2）
y=sinx中pi/2<x<3pi/2时，反函数为y=arcsinx+pi

y=cosx中pi<x<pi时，为不满足单调条件。比如说现在一个y对应两个x ,那么如果有反函数的话就是一个x对应两个y了，显然不符合函数定义。

sorry，前面说的错了。你看看换元之后，有个cos^2x要开方出来，如果你选择pi/2<t<3pi/2之后，从cos的函数图可以看出来这个范围里都是负数，因此前面要加一个负号，然后再从3pi/2积分到pi/2.

要这样理解，换元就是替换，只要别的元素在区间可以把x表示出来，就可以替换。（当然是要为积分更简便而服务了^_^）

Answer 2

求不定积分的方法

换元法
换元法（一）：设f(u)具有原函数F(u)，u=g(x)可导，那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函数.
即有换元公式:
例题：求
解答：这个积分在基本积分表中是查不到的，故我们要利用换元法。
设u=2x，那末cos2x=cosu，du=2dx，因此：

换元法（二）：设x=g(t)是单调的，可导的函数，并且g'(t)≠0，又设f[g(t)]g'(t)具有原函数φ(t)，
则φ[g(x)]是f(x)的原函数.(其中g(x)是x=g(t)的反函数）
即有换元公式:
例题：求
解答：这个积分的困难在于有根式，但是我们可以利用三角公式来换元.
设x=asint(-π/2<t<π/2)，那末，dx=acostdt,于是有：

关于换元法的问题
不定积分的换元法是在复合函数求导法则的基础上得来的，我们应根据具体实例来选择所用的方法，求不定积分不象求导那样有规则可依，因此要想熟练的求出某函数的不定积分，只有作大量的练习。
分部积分法
这种方法是利用两个函数乘积的求导法则得来的。
设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.我们知道，两个函数乘积的求导公式为：
(uv)'=u'v+uv'，移项，得
uv'=(uv)'-u'v，对其两边求不定积分得：
，
这就是分部积分公式
例题：求
解答：这个积分用换元法不易得出结果，我们来利用分部积分法。
设u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部积分公式得：

关于分部积分法的问题
在使用分部积分法时，应恰当的选取u和dv，否则就会南辕北辙。选取u和dv一般要考虑两点：
(1)v要容易求得；
(2)容易积出。