Question

已知平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AC=10,BD=8． （1）若AC⊥BD,试求四边形ABCD的面积;（2）

已知平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AC=10,BD=8． （1）若AC⊥BD,试求四边形ABCD的面积;（2）若AC与BD的夹角∠AOD=60°,求四边形ABCD的面积;（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”,且∠AOD=θ,AC=a,BD=b,试求四边形ABCD的面积（用含θ,a,b的代数式表示）．

Answer 1

（1）四边形ABCD的面积=40; （2）四边形ABCD的面积S=4S △ AOD =20 ; （3）四边形ABCD的面积= absinθ．

试题分析：（1）因为AC⊥BD,所以四边形ABCD的面积等于对角线乘积的一半; （2）过点A分别作AE⊥BD,CF⊥BD,根据平行四边形对角线互相平分和正弦定理求出△AOD的面积,那么四边形ABCD的面积=4△AOD的面积; （3）作辅助线AE⊥BD,CF⊥BD,利用正弦定理求出△BCD、△ABD的高,那么四边形ABCD的面积=△BCD的面积+△ABD的面积． 试题解析：（1）∵AC⊥BD, ∴四边形ABCD的面积= AC?BD=40; （2）分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F．    ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AO=CO= AC=5,BO=DO= BD=4． 在Rt△AOE中,sin∠AOE= , ∴AE=AO?sin∠AOE=AO×sin60°=5× = ． ∴S △ AOD = OD?AE= ×4× ×5=5 ． ∴四边形ABCD的面积S=4S △ AOD =20 ; （3）如图所示,过点A,C分别作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F． 在Rt△AOE中,sin∠AOE= , ∴AE=AO?sin∠AOE=AO?sinθ． 同理可得 CF=CO?sin∠COF=CO×sinθ． ∴四边形ABCD的面积 S=S △ ABD +S △ CBD = BD?AE+ BD?CF = BDsinθ（AO+CO） = BD?ACsinθ = absinθ．