Question

已知直线 与椭圆 相交于 两点，点 是线段 上的一点， 且点 在直线 上.（1）求椭圆的离心率；（2

已知直线 与椭圆 相交于 两点，点 是线段 上的一点， 且点 在直线 上.（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦点关于直线 的对称点在单位圆 上，求椭圆的方程.

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Answer 1

(1) ;(2)

试题分析：(1)设 、 ，由题中的直线方程与椭圆方程联立消去 ，得 ，由韦达定理得 ，进而得到 ，因此得 的中点 ，且点 在直线 上建立关系得 ，进而得离心率 的值； （2）由（1）的结论，设椭圆的一个焦点 关于直线 的对称点为 ，且 被直线 垂直且平分建立方程组，解之得 且 ，结合点 在单位圆上，得到关于 的方程，并解得 ，由此即可得到椭圆方程. （1）由 知M是AB的中点， 设A、B两点的坐标分别为 由 ， ∴M点的坐标为 又M点的直线l上： ,   （2）由（1）知 ，根据对称性，不妨设椭圆的右焦点 关于直线l： 上的对称点为 ， 则有                由已知 ， ∴所求的椭圆的方程为