Question

已知正实数x，y满足x+y+2=4xy，若对任意满足条件的x，y都有（x+y）2+1-m（x+y）≥0恒成立，则实数m的取值

已知正实数x，y满足x+y+2=4xy，若对任意满足条件的x，y都有（x+y）2+1-m（x+y）≥0恒成立，则实数m的取值范围为（　　）A．(?∞，52]B．[52，+∞)C．(?∞，32]D．[32，+∞)

Answer 1

因为正实数x，y满足x+y+2=4xy，而4xy≤（x+y）²，代入原式得（x+y）²-（x+y）-2≥0，解得（x+y）≥2或（x+y）≤-1（舍去）
由（x+y）²+1-m（x+y）≥0恒成立得m≤(x+y)+

1

x+y

恒成立，令t=x+y∈[2，+∞），
则问题转化为m≤t+

1

t

，t∈[2，+∞)时恒成立，因为函数y=t+

1

t

在[1，+∞）递增，
所以要使原式成立只需m≤(t+

1

t

)min=2+

1

2

＝

5

2

．
故选A．