Question

如图（1），已知：点C为线段AB上一点，且△ACM和△CBN都是等边三角形，若连结AN、BM，通过证明△CAN≌△C

如图（1），已知：点C为线段AB上一点，且△ACM和△CBN都是等边三角形，若连结AN、BM，通过证明△CAN≌△CMB，可证AN=MB．（1）若以AB为对称轴，将△CBN翻折，如图（2），求证：AN=MB．（2）若以点C为旋转中心，将△ACM顺时针旋转180°，达到新的位置，请你画出旋转后的图形并判断结论“AN=BM”是否仍能成立，写出你的结论并说明理由．（3）在（2）中得到的图形内，若将NB延长与AM相交于D，则可判断△ABD是______三角形，四边形CMDN是______四边形．

Answer 1

（1）证明：∵△ACM和△CBN都是等边三角形，
∴AC=CM，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，

AC＝CM ∠ACN＝∠MCB BC＝CN

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=MB；

（2）解：AN=MB成立．
证明如下：∵△ACM和△CBN都是等边三角形，
∴AC=CM，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，
在△ACN和△MCB中，

AC＝CM ∠ACM＝∠BCN BC＝CN

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=MB；

（3）∵△ACM和△CBN都是等边三角形，
∴∠CBN=∠CAM=60°，
∴∠ABD=∠CBN=60°（对顶角相等），
∴∠ADB=180°-60°×2=60°，
∴∠ABD=∠CAM=∠ADB，
∴△ABD是等边三角形；
∵∠ADB=∠BNC=60°，
∴MD∥CN，
∵∠ADB=∠AMC=60°，
∴CM∥ND，
∴四边形CMDN是平行四边形．
故答案为：等边，平行．