Question

（2012?驿城区模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为BC的中点，E、F分别为AB、CD边上的动点，在点E、

（2012?驿城区模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为BC的中点，E、F分别为AB、CD边上的动点，在点E、F运动的过程中始终保持△EMF为直角三角形，其中∠EMF=90°．则直角三角形的斜边EF的取值范围是______．

Answer 1

解答：解：∵M为BC的中点，正方形ABCD的边长为4，
∴BM=CM=2，
∵∠EMF=90°，
∴∠BME+∠CMF=90°，
∵∠CFM+∠CMF=90°，
∴∠BME=∠CFM，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△BME∽△CFM，
∴

BM

CF

=

BE

CM

，
∴BE?CF=BM?CM=2×2=4，
∵CF最大时为4，此时BE=1，BE最大时为4，此时CF=1，
∴0≤CF-BE≤3，
过点E作EG⊥CD于G，
则EG=BC=4，
在Rt△EFG中，EF²=EG²+FG²=16+（CF-BE）²，
∴16≤EF²≤16+9，
∴4≤EF≤5．
故答案为：4≤EF≤5．