Question

随机变量X和Y在圆域x2+y2≤r2上服从联合均匀分布．（1）求X和Y的相关系数ρ；（2）问X和Y是否独立

随机变量X和Y在圆域x2+y2≤r2上服从联合均匀分布．（1）求X和Y的相关系数ρ；（2）问X和Y是否独立．

Answer 1

（1）ρ等于5。

这是个面积为πR^2的圆形，均布在圆内(dx dy)的概率值为1/πR^2。

如果求边缘分布的话，也就是求f(x)和f(y)，由对称性可看出它俩形式一样

f(x) 的值域是-1到1，而对应一个确定x的y的值域是(-sqrt(1-x^2),sqrt(1-x^2))

所以f(x) = 2sqrt(1-x^2)，其中-1<=x<=1。ρ等于5。

（2）独立。

扩展资料：

简单地说，随机变量是指随机事件的数量表现。例如一批注入某种毒物的动物，在一定时间内死亡的只数；某地若干名男性健康成人中，每人血红蛋白量的测定值；等等。另有一些现象并不直接表现为数量，例如人口的男女性别、试验结果的阳性或阴性等。

但我们可以规定男性为1，女性为0，则非数量标志也可以用数量来表示。这些例子中所提到的量，尽管它们的具体内容是各式各样的，但从数学观点来看，它们表现了同一种情况，这就是每个变量都可以随机地取得不同的数值，而在进行试验或测量之前，我们要预言这个变量将取得某个确定的数值是不可能的。

参考资料来源：百度百科-随机变量

Answer 2

联合概率密度f（x，y）=

1 πr2 ，x2+y2≤r2 0，其它

fX(x)＝

2

πr2

r2?x2

，|x|≤r．
fY(y)＝

2

πr2

r2?y2

，|y|≤r．
期望EX=0，EY=0．
协方差cov（X，Y）=E（X，Y）=0
∴相关系数ρ_x，y=0．
∵f（x，y）≠f_X（x）?f_Y（y），
∴X与Y不独立．