Question

已知a.b.c.d且a^2+b^2=1c^2+d^2=1求证ac+bd的绝对值小于等于一

Answer 1

(a-c)^2>=0 ，所以 a^2-2ac+c^2>=0， 所以 （a^2+c^2）/2>=ac (1)
-(a+c)^2<=0，所以 -a^2-2ac-c^2<=0，所以 -（a^2+c^2）/2<=ac (2)
同理：
(b-d)^2>=0， 所以 b^2-2bd+d^2>=0，所以 （b^2+d^2）/2>=bd (3)
-(b+d)^2<=0，所以-b^2-2bd-d^2<=0，所以 -（b^2+d^2）/2<=bd (4)
(1)+(3)得：
ac+bd<=(a^2+c^2)/2+(b^2+d^2)/2=(a^2+b^2)/2+(c^2+d^2)/2=1/2+1/2=1
(2)+(4)得：
ac+bd>=-(a^2+c^2)/2-(b^2+d^2)/2=-(a^2+b^2)/2-(c^2+d^2)/2=-1/2-1/2=-1
即：
-1=<ac+bd<=1
所以： |ac+bd|<=1

Answer 2

因为a²+b²=1，c²+d²=1
所以可设a=cosα，b=sinα，c=cosβ，d=sinβ，
所以|ac+bd|
=|cosαcosβ+sinαsinβ|
=|cos(α-β)|≤1
即|ac+bd|≤1