Question

设函数z=f(x,x/y),f具有二阶连续偏导数,求az/ax, a^2z/axay

Answer 1

z=f(x,x/y)，x与y无关
因此，
z'x
=f'1*(x)'+f'2*(x/y)'
=f'1+f'2/y

z''xy
=(z'x)'y
=(f'1+f'2/y)'y
=f''11(x)'+f''12*(x/y)'+(f'2/y)'
=-xf''12/y^2 + (-f'2/y^2+(f''21*(x)'+f''22*(x/y)')/y)
=(-x/y^2)f''12-(1/y^2)f'2-(x/y^3)f''22

其中，z'x，z'y表示z分别对x,y求偏导，f'1，f'2表示f 分别对第一个位置和第二个位置求导，
f''11，f''12，f''21，f''22分别表示f'1对第一和第二位置，以及f'2对第一和第二位置求导

有不懂欢迎追问

Answer 2

设：u=u(x)=x v(x,y)=x/y
z=f(u,v)
∂z/∂x=∂f/∂x=(∂f/∂u)(du/dx)+(∂f/∂v)(∂v/∂x)
= ∂f/∂u + (∂f/∂v)/y (1)
∂²z/∂x∂y=(∂²f/∂u∂v)(∂v/∂y)=-x(∂²f/∂u∂v)/y^2 (2)
如果给定f(u，v)的具体函数形式，那么根据（1）、（2）可算出偏导数的具体结果。