Question

如图，PB切⊙O于B点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO交⊙O于点C

连结BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）若BC＝6，AD:FD=1：2，求⊙O的半径的长．


初三数学

Answer 1

(1)先证明三角形AOD和BOD全等（显而易见的）得到角AOD=角BOD，然后又OA=OB，OP=OP，所以三角形OAP全等三角形OBP，所以角OAP=角OBP=90度（切线的性质）
所以OA垂直于AP，所以PA是圆的切线
(2)设半径是r，BC=6，所以OD=3，FD=r+3，
在三角形AOD中，由勾股定理得AD^2=r^2-OD^2=r^2-9
因为AD:FD=1：2，所以FD=2AD，所以FD平方=4AD平方，带入上面的结果得
(r+3)^2=4(r^2-9)，解出r=5，或者r=-3（舍去）
所以圆的半径是5