Question

24. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线 与AB的延长线交于点P，∠COB=2∠PCB.

（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N， 若MN · MC=8，求⊙O的直径.

Answer 1

1、∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵OA=OC
∴∠A=∠OCA
∵∠COB=2∠PCB
∠COB=∠A+∠OCA=2∠OCA
∴∠PCB=∠OCA
∵∠OCA+∠OCB=∠ACB=90°
∴∠OCB+∠PCB=∠OCP=90°
即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线
2、连接MA、MB
∵点M是弧AB的中点
∴∠ACM=∠BCM
∵∠MAN=∠BCM
∴∠MAN=∠ACM
∵∠AMC=∠AMN
∴△AMC∽△NMA
∴MN/AM=AM/CM
∴AM²=MN×CM=8
∵∠ACM=∠BCM
∴AM=BM
∵AM是直径
∴∠AMB=90°
∴在Rt△AMB中：AM²+BM²=AB²
AB²=8+8=16
AB=4
∴OA=OB=2
即⊙O的直径是2。

Answer 2

(1)证明: 因为 OB=OC,
所以 角OBC=角OCB,
因为 角OBC+角OCB+角COB=180度,
所以 角OCB+1/2角COB=90度,
因为 角COB=2角PCB,
所以 角OCB+角PCB=90度,
即: 角OCP=90度,
所以 PC是圆O的切线..
(2)解: 好像少了什么条件?另外 MN乘MC还是MN比MC?

Answer 3

（1）∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO．

又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，

∴∠A=∠ACO=∠PCB．

又∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACO+∠OCB=90°．

∴∠PCB+∠OCB=90°．

即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半径．

∴PC是⊙O的切线；（3分） 

（2）连接MA，MB，

∵点M是弧AB的中点，

∴弧AM=弧MB

∴∠BCM=∠ABM（同圆中，相等的弧所对的圆周角相等），

∴△MBN∽△MCB．

∴BM2=MN•MC．

∴AM2=MN•MC．