Question

已知向量a,b满足|a|=1,(a+b)(a-2b)=0,则|b|的最小值为

Answer 1

依题意：(a+b) dot (a-2b)=0，即：|a|^2-2|b|^2-a dot b=0
即：1-2|b|^2-|a|*|b|*cos<a.b>=0，所以：cos<a,b>=(1-2|b|^2)/|b|
因为<a,b>∈[0,π]，所以cos<a,b>∈[-1,1]
所以：-1≤(1-2|b|^2)/|b|≤1，等价于：(1-2|b|^2)/|b|≤1，(1-2|b|^2)/|b|≥-1
即：2|b|^2+|b|-1≥0，即：(|b|+1)(2|b|-1)≥0-------(1)
|b|^2-|b|-1≤0，即：(|b|-1)(2|b|+1)≤0---------------(2)
解(1)得：|b|≥1/2或|b|≤-1
解(2)得：-1/2≤|b|≤1
因为：|b|≥0，所以不等式组的解为：1/2≤|b|≤1
所以向量b的模值|b|的最小值是1/2