Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长AA1=2．（1）E为棱CC1的中点，求证：B1D1⊥AE； （2）求二面角C-AE-B的平

在正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长AA1=2．（1）E为棱CC1的中点，求证：B1D1⊥AE； （2）求二面角C-AE-B的平面角的正切值．

Answer 1

证明：（1）连接A₁C₁，
∵AA₁⊥平面A₁C₁，
∴A₁C₁是AE在平面A₁C₁上的射影，
在正方形A₁B₁C₁D₁中，B₁D₁⊥A₁C₁
∴B₁D₁⊥AE
解：（2）连接BD交AC于O，过B点作BF⊥AE交AE于F，连接OF
∵EC⊥平面AC在正方形ABCD中，BD⊥AC，∴BD⊥平面ACE
∴OF是BF在平面EAC上的射影，∴AE⊥FO∴∠BFO是二面角B-AE-C的平面角
在正方形ABCD中，BO=AO=

1

2

AC=

2

在Rt△ACE中，AE=3，
∵△AOF∽△AEC，
∴

OA

OF

=

AE

EC

∴OF=

OA?EC

AE

=

2

3

在Rt△BOF中，tan∠BFO=

OB

OF

=3