Question

设矩阵Am×n的秩为R（A）=m＜n，Em为m阶单位矩阵，下列结论中正确的是（　　）A．A的任意m个列向量必线性

设矩阵Am×n的秩为R（A）=m＜n，Em为m阶单位矩阵，下列结论中正确的是（　　）A．A的任意m个列向量必线性无关B．A的任意m阶子式不等于零C．A通过初等行变换，比可以化为（Em，0）的形式D．非齐次线性方程Ax=b一定有无穷多组解

Answer 1

倘若取A3×4＝

1 1 1 1 0 2 3 0 0 0 1 0

，则r（A）=3＜4符合题目条件：
（1）对于选项A
易知，一、二、四列三个列向量是线性相关的，
故选项A错误；
（2）对于选项B
易知，一、二、四列三个列向量所构成的三阶子式等于0，
故选项B错误；
（3）对于选项C
易知，阵A无法通过初等行变换化成（E₃，0）的形式，还必须经过初等列变换，
故选项C错误；
（4）对于选项D
由于矩阵A_m×n的秩为R（A）=m＜n，
因而在A的每个行向量添加一个分量后得到矩阵（A：b），
其秩不改变，即：r（A）=r（A：b）=m＜n，
因此，非齐次线性方程Ax=b一定有无穷多组解，
故选项D正确；
故选：D．