Question

已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R），函数f（x）在x=2处取得极值-4．（1）求函数f（x）的解析式；

已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R），函数f（x）在x=2处取得极值-4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函数f（x）在x=2处取得极值-4，
∴

f′(2)=0 f(2)=-4

，即

12+4a+b=0 8+4a+2b=-4

解得

a=-3 b=0

．
∴函数f（x）的解析式为f（x）=x³-3x²．
（2）由（1）知f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
令f′（x）＞0得x＜0或x＞2，
令f′（x）＜0得 0＜x＜2，
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2，+∞）
f（x）的单调递减区间为（0，2）．