（2014?南通）如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与B
（2014?南通）如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．（1）求线段DE...
（2014?南通）如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．（1）求线段DE的长；（2）设过E的直线与抛物线相交于点M（x1，y1），N（x2，y2），试判断当|x1-x2|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；（3）设P为x轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，求点P的坐标．
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由抛物线y=-x2+2x+3可知，C（0，3），
令y=0，则-x2+2x+3=0，解得：x=-1，x=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
∴顶点x=1，y=4，即D（1，4）；
∴DF=4
设直线BC的解析式为y=kx+b，代入B（3，0），C（0，3）得；
，解得
，
∴解析式为；y=-x+3，
当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2），
∴EF=2，
∴DE=DF-EF=4-2=2．
（2）设直线MN的解析式为y=kx+b，
∵E（1，2），
∴2=k+b，
∴k=2-b，
∴直线MN的解析式y=（2-b）x+b，
∵点M、N的坐标是
的解，
整理得：x2-bx+b-3=0，
∴x1+x2=b，x1x2=b-3；
∵|x1-x2|=
=
令y=0，则-x2+2x+3=0，解得：x=-1，x=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
∴顶点x=1，y=4，即D（1，4）；
∴DF=4
设直线BC的解析式为y=kx+b，代入B（3，0），C（0，3）得；
|
|
∴解析式为；y=-x+3，
当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2），
∴EF=2，
∴DE=DF-EF=4-2=2．
（2）设直线MN的解析式为y=kx+b，
∵E（1，2），
∴2=k+b，
∴k=2-b，
∴直线MN的解析式y=（2-b）x+b，
∵点M、N的坐标是
|
整理得：x2-bx+b-3=0，
∴x1+x2=b，x1x2=b-3；
∵|x1-x2|=
| (x1?x2)2 |
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